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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Regla de L'Hopital

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4.16. Encontrar todas las asíntotas (vertical, horizontal y oblicua) de la siguientes funciones ff definidas por y=f(x)y=f(x) :
b) f(x)=x−1ln⁡(x)f(x)=\frac{x-1}{\ln (x)}

Respuesta

Estudiamos las asíntotas de la función: f(x)=x−1ln⁡(x)f(x)=\frac{x-1}{\ln (x)}

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de ff

Por un lado, lo de adentro del logaritmo tiene que ser mayor estricto que cero y, además, el denominador no puede ser cero. Si sumás estas restricciones llegás a que el dominio de ff es (0,1)∪(1,+∞)(0,1) \cup (1,+\infty)

1)\textbf{1)} Asíntotas verticales
 
Tenemos dos candidatos a asíntota vertical, x=0x=0 y x=1x=1.

Estudiamos primero x=0x=0

lim⁡x→0+x−1ln⁡(x)=0 \lim_{x \to 0^+} \frac{x-1}{\ln (x)} = 0

Por lo tanto, en x=0x=0 no hay asíntota vertical. 

Estudiamos ahora x=1x=1

lim⁡x→1x−1ln⁡(x)  \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\ln (x)} 

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:

lim⁡x→111x=lim⁡x→1x=1\lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} x = 1

Por lo tanto, tampoco hay asíntota vertical en x=1x=1. 3)\textbf{3)} Asíntotas horizontales: Tomamos límite cuando xx tiende a +∞+ \infty lim⁡x→+∞x−1ln⁡(x) \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{\ln (x)} Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital: lim⁡x→+∞11x=lim⁡x→+∞x=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty

4)\textbf{4)} Asíntotas oblicuas

Empezamos buscando la pendiente de la posible asíntota oblícua: m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x−1xln⁡(x)m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{x \ln(x)} Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital (atenti en el denominador, regla del producto!) lim⁡x→+∞1ln⁡(x)+1=0\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln(x) + 1} = 0

Cualquier asíntota oblicua debería tener pendiente m≠0m \neq 0. Por lo tanto ff no tiene asíntota oblicua. 
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